Сколько различных делителей имет число 2160?

Answer 1

2160 это 216 * 10 216 - это 6 в кубе 6 - это 2 * 3, а 10 - это 2 * 5 Значит число 2160 факторизуется так: (2 * 3) ^3 * 2 * 5 = 2^4 * 3^3 * 5. Теперь как найти обще число различных делителей. Берём число 1, являющеся делителем любого натурального числа. Числа 2, 2^2, 2^3 и 2 ^4 дадут четыре различных делителя. Добавляем к ним 1 (формально, 2^0) , получаем пять различных делителей. Эти делители могут умножаться на каждый из делителей числа 3^3*5. Число делителей числа 3^3 * 5, равно, очевидно, 8 - ведь делителями будут числа 1, 3, 3^2 и 3^3, при этом каждое может умножаться на 5 либо нет. Если они не умножаются на 5, то дают четыре делителя, а если умножаются, то ещё четыре различных, итого 8. Каждый из делителей числа 2^4 (5) может умножаться на каждый делитель числа 3^3*5 (8) . Таким образом, обще число различных делителей числа 2160 равно 5*8 = 40. Эти делители приведены в таблице, легко видеть, что других делителей нет. В общем же случае число делителей числа А = p1^q1 * p2^q2 * . * pn^qn, где p1, p2, pn - простые делители числа А, q1, q2, qn - показатели степеней при простых делителях, равно C = (q1 + 1) * (q2 + 1) *. * (qn + 1) В данном случае А = 2160, p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, q1 = 4, q2 = 3, q3 = 1. По формуле получаем С = (4 + 1) (3 + 1) (1 + 1) = 5 * 4 * 2 = 40.