остаток от деления 115^11 на 11

Question

Найти остаток от деления 115 в 11 степени на 11. Знаю как решать, решила, но не уверена. Просто скажите, пожалуйста, ответ

Answer 1

115 = ( 10 х 11 ) + 5
Остаток от деления 115 в какой-либо степени на 11 - будет таким же, как от деления 5 в той же степени на 11 ( это, в принципе - очевидно, если ( 10 х 11 ) + 5) в степени х разложить на составляющие, то во всех слагаемых, кроме 5^х будет присутствовать (10 х 11)
Рассмотрим остаток от деления на 11 степеней 5
 5 - остаток 5
 25 - остаток 3
 125 - остаток 4
 625 - остаток 9
3125 - остаток 1
15625 - остаток 5,
то есть, остаток от деления 5^1 и 5^6 на 11 равны ( и дале остаток от деления будет повторяться по кругу с увеличением степени ) . И остаток от деления на 11 5^11 будет таким же, как остаток от деления на 11 5^1 и 5^6, то есть 5
 Ответ : 5

Answer 2

Теорема об остатках. Степень числа даёт тот же остаток от деления на некоторый делитель, что и степень остатка основания степени на этот делитель. У числа 115 остаток от деления на 11 равен 5 (115 = 11*10 + 5) . Значит, такой же остаток будет и у числа 5^11. Дале можно представить 5^11 как 5^3*5^3*5^3*5^2. 5^3 - это 125, остаток от деления на 11 равен 4. 5^2 - это 25, остаток равен 3. Дале перемножаем остатки 4*4*4*3 = 64*3. Остаток от деления 64 на 11 равен 9. Остаётся 9*3 = 27, остаток равен 5. Значит ответ 5.