Найдите трехтысячное натуральное число, которое не представимо в виде разности квадратов двух целых чисел

Answer 1

Ну, давайте, найдем числа, котоые представимы, т. е. N = a^2-b^2 = (a-b) (a+b) = k * (k + 2b)

Во-первых, это все нечетные числа (k=1, b - любое)

Во-вторых, если N делится на 2, то либо k делится на 2, либо (k+2b) делится на 2, т. е, k - четное: k=2m
Получаем, что четные числа, представимые в виде разности квадратов, имеют вид: 4*m (m+b) , т. е, делятся на 4 нацело. Обратно, если N делится на 4, то оно представимо в виде разности квадратов.
 (пусть N=4n, тогда n=m (m+b) , если n - четное, то m=2, b= (n/2) -2, если n - нечетное, то m=1, b=n-1)

Итак, числа, представимые в виде разности квадратов, либо нечетные, либо делятся на 4.
Остальные, видимо, непредставимы:
2, 6, 10, 14, и т. д, т. е. N=2k, где k - нечетное.
Получаем, что трехтысячное такое чиcло имет вид N=2*3001

В общем, как-то так.