Ты слишком занят, чтобы написать? Are you to busy to write? почему сдесь нету слова that?

Answer 1

Are you too busy to write? Инфинитив с частицей to в данном случае обозначает цель, намерение. В русском это будет придаточное предложение с "чтобы".
Языки устроены по-разному, поэтому переводить надо не слова, но смыслы.
Например, How do you do переводится как вежливое "здравствуйте", а не "как ты делаешь".
Аналогичные примеры:
It's too late to call him.
It's too dark here to see something.
I'm too cold to enjoy a walk.