Объясните пожалуйста почему в приложении в 1 примере стоит артикль an, а во 2 the?

Answer 1

Потому что автор вложил такой смысл, что Дж. В. был одним из противников (далеко не единственным) британского правления, а Жанна Д'Арк - та самая, всем известная деревенская девушка, к которой прилагается ограничительное определение.
Кстати, не возбраняется упомянуть е с неопределенным артиклем и трактовать придаточное как описательное.

Answer 2

"the country girl WHOSE (которой) patriotism inspired the French" - есть уточнение, речь идет о единичном случае
"непреклонный противник британского владычества" - таких наверное было много