решите дифференциальное уравнение с пошаговым пояснением

Answer 1

Это неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Перепишем его:
y' - y = x
Сответсвующе однородное уравнение имет вид:
y' - y = 0
Хоть это и простое уравнение с разделяющимися переменными, будем следовать алгоритму решения линейных однородных уравнений.
Ищем решение в виде:
y = e^kx
подставим:
k*e^kx - e^kx = 0
k - 1 = 0 - характеристическое уравнение, сответствующе нашему линейному однородному уравнению.
k = 1
Таким образом обще решение однородного уравнения:
y = C*e^x
Обще решение неоднородного уравнения состоит из общего решения однородного уравнения плюс частное решение неоднородного уравнения. Обще решение сответствующего однородного мы уже нашли. Частное решение неоднородного ищем в виде многочлена:
y = ax + b
подставим в уравнение:
a - ax - b = x
приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х справа и слева:
x^0: a - b = 0
a = b
x^1: -ax = x
a = -1
b = -1
итого частное решение имет вид:
y = -x - 1
Обще решение нашего уравнения:
y = C*e^x - x - 1
Вот и все решение!