Что за часть речи "было" и как оформлять пунктуацию в "он было сказал", "он было подумал"?

Answer 1

Было (в данном случае) - частица, и запятые не нужны.
Употребление:
было (частица) + глагол прошедшего совершенного.
Было (не в этом случае) - глагол, обычно является глагольной частью составного сказуемого:
было (глагол) + любая именная часть

Answer 2

БЫЛО (бы) , БЫВАЛО, БУДЬ ТО, БУДТО (бы) - пережитки разветвлённых форм (парадигмы) глагола БЫТЬ. В основном, служебные слова, а "будь то" считается союзом. Язык не поднимается назвать их "частицами", разве что БЫ

Такое обилие напоминает об употреблении глагола БЫТЬ (+ ИМЕТЬ) в качестве вспомогательных - этап, который германские языки пока не преодолели.
Было (бы) ", бывало. будь то,