существует вобще математическое обоснование науки математики?

Answer 1

В математике есть язык формулировки определений/доказательств/теорем, он считается непротиворечивым и построен на аксиомах теории множеств. Вот Гедель тут именно при этом, он проблемами аксиоматики очень активно занимался.

Кое-какие аксиомы используются не так уж часто (типа аксиомы выбора) и позволяют доказать весьма необычные утверждения (см, например, теорема Банаха-Тарского) , поэтому если таковые аксиомы используются в доказательстве, на это принято обращать внимание.

Answer 2

изначально евклиду нужно было основание от которого можно отталкиваться. Он принял за истину что 2 параллельные прямые никогда не пересекутся, ничего не доказывая. И от этого выстроил всю математику которой сейчас учат в школе. Но позже появился математик Лобачевский, который тоже ничего не доказывая решил что параллельные прямые всё таки пересекаются где-то в бесконечности и построил свою математику отталкиваясь от этого.