про задачу на уравнение плоскости. +

Question

один из подпунктов задачи: составить уравнение плоскости, проходящей через точку С, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО ВЕКТОРУ АВ.
В условии задачи даны три точки А, В, и С с точными кординатами.
ВОПРОС:
 В решении достаточно использовать только одну точку С, или есть какие-то способы с использованием всех точек?

Answer 1

Ну раз в задаче предлагаются кординаты всех трёх точек, то все они, наверняка, должны быть использованы.
Действительно, как известно, уравнение плоскости, проходяще через заданную точку С с кординатами xC. yC. zC) , как известно, таково:

a (x - xC) + b (y - yC) + c (z - zC) = 0

где a, b и c - кординаты вектора, перпендикулярного плоскости. Как видим, одно условие задействовано. Чтобы задействовать два других условия, нужно найти кординаты вектора, зная его начало и конец (это точки A и B) :

a = xB - xA
b = yB - yA
c = zB - zA

Как видно, все условия задействованы, и если не знать два из этих условия (например, кординаты точек A и B) или даже только одно условие (кординаты, например, только точки A) , то задача допускает бесчисленное множество решений. В самом деле, передвигая точку A по пространству, мы получаем при фиксированном положении точки B самые разные векторы, имеющие разные кординаты. А при фиксированном положении точки С сответствующая плоскость будет поворачиваться вокруг этой точки.
Т. е. двум различным положениям точки А при фиксированном положении точек B и C сответствуют, вобще говоря, две различные плоскости, имеющие, конечно, два различных уравнения.
Если вместо кординат точки А задано какое-то ещё условие, то плоскость может быть определена однозначно, но если такого условия нет, то только так.