В чем именно ошибка в построении следующего предложения: "Я не стала идти с ней на каток"?

Answer 1

Не согласуются слова стала и идти.
Очевидно, слово "стала" требует после себя глагол несовершенного вида "ходить":
Я не стала ходить с ней на каток.
Если же необходимо эту фразу выразить в смысле единичного совершённого действия, то только так:
Я не пошла с ней на каток.

Answer 2

Все глаголы движения в русском языке - парные.
идти - ходить
лететь - летать
ехать - ездить
ползти - ползать
и т. д.

Глагол "стать" можно употреблять только с глаголами из правого столбца: он не станет ездить, я не стал ходить и т. п.