Задачка (не школа, для тех, кто хочет потренировать мозги) . Есть половина кольца. Найти центр тяжести.

Question

Даны: радиусы R и r.
Приветствуется, красивое решение. (Оно есть, почти устное! )

Answer 1

Для полукруга табличное значение смещение относительно центра YR=4R/ (3 Pi)
YR Yr YRr это ординатs центрjd тяжести, а не произведение Y на R

Дальше пальцы размять
 (R^2*YR) - (r^2*Yr) =YRr (R^2-r^2)
YRr=4/ (3*Pi) * (R^3-r^3) / (R^2-r^2)
ну или 4/ (3*Pi) * (R^2+R*r+r^2) / (R+r)

проверим для r-R получим значение для центра масс полуокружности (обода) Y=2R/Pi ну это тоже можно найти в табличных значениях.

Поиск решения без интегралов для полукруга и полуокружности оставляю для любопытствующих,
используется в решении, бездоказательно для студентов-механиков, Вторая теорема Паппа — Гульдина
 Объём тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси, расположенной в той же плоскости и не пересекающей фигуру, равен площади фигуры, умноженной на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси вращения до барицентра фигуры
А я вспоминал. Но в комментах уже было, от Дяди Мити.

Answer 2

У обычного кольца центр тяжести находится в центре.
Думаю, что у половины он сместится. Сместится в середину половины кольца, либо, чуть ближе к центру (не прям на окружности) т. е на оси симметрии

Answer 3

Я бы подумал. Но случилось так, что я это решение просто знаю. .

Очевидно, что ЦМ лежит на прямой, перпендикулярной стягивающему диаметру.

Теперь проведем мысленный экперимент: закрепив центр стягивающего диаметра, "качнем" его на малый угол da, и определим изменение момента инерции. С одной стороны, он выражается через "торчащий краешек", как 2mRda/pi, с другой - через перемещение ЦМ, как mhsina (h-расстояние от центра стягивающей до ЦМ) . При малом a mhsina = mha

Итого 2mRda/pi = mha = h = 2R/pi