почему озеро (или остров) - "лебяжье" ("лебяжий") , а песнь -"лебединая"?

Answer 1

Это остатки каких-то древних грамматических форм. В общем: так исторически сложилось. Это как реликт в виде формы звательного падежа (которого сейчас в русском языке уже и след простыл) "Боже" (по аналогии "друже") и т. д.

Answer 2

А как насчет балета "ЛЕБЕДИНОЕ озеро"? Это пух - лебяжий. И то может быть лебединый.
Большой толковый словарь:
ЛЕБЕДИНЫЙ, -ая, -ое.
1.
к Лебедь (1 зн. ) . Л-ые перья. Л-ая стая.
2.
Напоминающий чем-л. лебедя; такой, как у лебедя. Л-ая грудь. Л-ая шея. Лебединая песня (песнь) .
О последнем произведении, создании, последнем проявлении таланта писателя, художника и т. п. (от древнего поверья, будто лебедь поёт раз в жизни - перед смертью) .
ЛЕБЯЖИЙ, -ья, -ье.
1.
к Лебедь (1 зн. ) . Л. пух. Л-ье перо.
2. Нар. -поэт.
=Лебединый (2 зн. ) . Л-ья осанка. Л-ья шея.
А "лебединая песня" - просто устойчивое ПЕРЕНОСНОЕ выражение про последне достижение. Вот и все. А про крики лебедя на самом деле вполне можно сказать и "лебяжья песня", и "лебяжий крик" потому что на самом деле он орет как резаный. И вовсе не один раз перед смертью. А по мере надобности.