Градиент (мат. анализ) и кое-что о нём

Question

На матане в универе задали такой вопрос: почему градиент задаёт направление наискорейшего (! ) изменения функции и почему он направлен перпендикулярно к поверхности/линии уровня. В интеренете пока что не нашел ответа, но ищу. Если кто-то может объяснить, буду благодарен)

Answer 1

На пальцах: небольшое приращение Ф-ции есть произведение небольшого приращения аргумента на производную.

Производная у Вас - вектор. Приращение аргумента - тоже. Поэтому произведение - скалярное. А оно равно нулю (чтоб получить линии уровня как раз) , когда вектора перпендикулярны