Производная функции

Answer 1

это не "производные функции" а дифференциальное уравнение.
ничего тут не выводится, просто подбирается ответ.

ну вспомни, у какой функции производная похожа на не саму? ? Ну у константы производная тоже константа. Подставим f (x) =C, получим 0=k*C, отсюда С=0. Уже хорошо - нашли одно решение, но скучноватое: )

вспомним еще, у экспоненты производная снова экспонента. Подставим f=C1*e^ (C2*x)
Получим уравнение С1*С2*e^ (C2*x) = k*C1*e^ (C2*x)
C1 сокращается, значит можно выбрать любой С1 (и даже ноль - получится наш первый ответ! ) , дальше ссокращаем экксспоненту и получаем С2=k.

ну типа так. Никаких особо общих правил на любой случай - нет. Разве что для линейных однородных дифуров всегда можно искать экспоненты и синусы-косинусы, или их комбинацию типа e^ax * (sin wx + cos wx) (это попросту комплексные экспоненты)