Существуют ли два последовательных натуральных числа

Question

(мене из них нечетное) сумма которых является квадратом целого числа?

Answer 1

первое из двух чисел имет вид (2n-1) , а второе 2n, где n=1, 2, по условию должно быть (2n-1) +2n=t^2 (1) , где t какое-то целое число. из (1) следует 4n-1=t^2 и n= (t^2/4. n будет целым только если (t^2 делится на 4 без остатка. при четном t=2k имем (4k^2/4=k^2/4 - деление без остатка не возможно (остаток 1) . при нечетном t= (2k-1) имем (4k^2-4k+2) /4=k^2-k+2/4 - деление без остатка тоже не возможно (остаток 2) . отсюда следует что двух таких чисел не существует.

Answer 2

3, 4

3*3 + 4*4 = 5*5

Как правильно заметил Гека, Египетский треугольник. .

Честно говоря, не стал читать полностью доказательство того, что таких чисел нет - как-то не внушает оно доверия после приведенного мной примера.