Для чего нужно раскладывать математические функции в степенные ряды? Какова от этого польза на практике?

Answer 1

Очень большая.

1) Конечный отрезок ряда даёт простое, удобное приближенное значение функции.
2) Многие задачи удаётся решить только в виде суммы ряда.

Answer 2

Польза грандиозная. Степенную функцию ты можешь посчитать!

Ну скажи, как ты на практике посчитаешь синус? Нарисуешь большой треугольник с нужным углом и линейкой померяешь отношение сторон? А тут посчитал пару членов ряда - и получил приличную точность. Мало точности - посчитал еще пару членов ряда.

Да и аналитические вещи часто с рядами считаются проще.
Ну-ка докажи, что экспонента от комплексного числа представляется через синусы и косинусы? А взял разложение экспоненты, подставил туда i - и получил два ряда через член - синуса и косинуса.

Ну и производные, интегралы от рядов берутся элементарно.