Правильно будет написать - I have never broken my leg . Или можно без my обойтись?

Answer 1

нельзя. может восприниматься, словно вы не ломали ногу другим людям (хотя даже в этом случае нужен артикль)
и, кстати, лучше сказать во множественном числе, legs.

Answer 2

Без my или артикля - просто неправильно.
. a leg/any leg - никакой, ничьей ноги.
. the leg/this leg - вот этой, вполне определённой ноги (даже, может быть, ноги куклы)