Почему обозначение длины вектора ставится в модуль?

Answer 1

Модуль по определению своему есть скалярная мера некоторой величины. Поэтому и обозначается. Определитель матрицы тоже так обозначается и по той же причине. И еще много что.

Answer 2

Это обозначение берет своё начало из Евклидовой геометрии и на ответ "почему" резонно ответить - "так решили и приняли". Гораздо интересне роль отводимая этой величине во всей математике и её основных разделах: абсолютная величина (модуль величины) , модуль-норма вектора, предельные переходы (их определения) . Суть состоит в том что из геометрии длина отрезка и расстояние между точками можно отсчитывать в обе стороны, причем можно считать расстояние от точки с бОльшим значением к точке с меньшим значением. Так как нас интересует лишь расстояние между точками (величина разницы "между" числами) - то мы не учитываем знак и "не хотим знать" какая из точек "больше", а какая "меньше". В этом случае стовится абсолютная величина. Кстати, именно поэтому у выражений (равенств и неравенств) с абсолютными величинами имется несколько корней - ибо расстояние между числами и началом кординат одно - а числа разные (по обе стороны, зеркально) .