"And for him" стоит в начале предложения, это инверсия?

Answer 1

Нет, это не инверсия. Это своего рода восклицательное предложение или назывное (в них сказуемое может отсутствовать) . Похоже по синтаксису (но не по смыслу) на предложения типа Just to think (that . ) ! "Невероятно (, что . ) ! " "Вот ведь бывает! " For him можно не переводить, так как по контексту понятно, о ком речь.

И при том иметь мужество снова войти в комнату (в дом) как ни в чем не бывало!

Или же это эллиптическая конструкция, где явно выражено только подлежаще (инфинитивная конструкция) .

And for him to have the courage to walk back in here like nothing happened [was laudable].
И то, что у него нашлось мужество снова войти в комнату как ни в чем не бывало, [- это похвально].

Answer 2

Где здесь предложение? Сказуемое так и не появилось. Расклад членов предложения без него окончательно не ясен.
Если домысливать, for him может стоять или в начале, или в конце, инверсией это не назовешь. Инверсия предполагает участие глагола.