Градиент и дивергенция

Question

Объясните, пожалуйста, данные понятия "на пальцах" (нужно для понимания физики (строгие математические формулировки не дают ясности)

Answer 1

Как ты будешь без понимания математики-то?

Градиент - векторная производная (максимальная) .
То есть изменение в каком-то направлении.
Например, в печке есть градиент температуры изнутри наружу.

Дивергенция - распределение источников, пересечений силовых линий.
Количество электрических зарядов, например, в каком-то объёме.

Answer 2

Допустим, во всём объеме комнаты, в которой Вы сейчас сидите, задана некоторая числовая характеристика, например, температура. То есть, каждой точке мы ставим в сответствие некоторое число - задаем скалярное поле, просто функцию от трех аргументов, x, y, z. Чтобы не переусложнять, допустим, что это поле не меняется со временем. Теперь в каждой точке вычисляем скорость (производную) , с которой е значение меняется при бесконечно малом перемещении в каком-либо направлении. Из всех таких производных в данной точке выбираем наибольшую положительную и "рисуем" вектор из точки в этом направлении с длиной, равной этой производной. Проделаем так с каждой точкой в Вашей комнате. Таким образом, мы задали векторное поле (правило, ставяще в сответствие каждой точке вектор) , которое называется градиентом данного скалярного поля.

Теперь берем произвольное векторное поле, а в нём - произвольную точку. Окружаем е мысленно небольшой сферой. Если линии, вдоль которых направлены вектора в этой небольшой окрестности не параллельны, то поле как бы "втекает" в эту сферу больше, чем вытекает (или наоборот - зависит от направления векторов) . Отношение "втекающего" потока к "вытекающему", при стремлении объема сферы к нулю, называется дивергенцией. Таким макаром, е можно вычислить для каждой точки, в которой задано наше векторное поле. Дивергенция - скалярное поле.

Математики сейчас меня загрызут, но сделал все, что мог.

Answer 3

Ну вот есть у тебя какая-то поверхность, мячик там или ещё какой сложной формы. К одной её точке можно приложить только одну касательную плоскость (если нельзя, то функция недифференцируема в этой точке и градиента нет) . Перпендикуляр к этой плоскости (нормаль) и будет направлением градиента. А численное его значение - это значение функции в точке, полученной из частных производных функции этой сложной поверхности.