как найти площадь фигуры, ограниченной функуциями?

Question

y=|x-1|
y=3-|x|
Без построения графика! !
Понятно, что интегрировать нужно от -1 до 2, но как интегрировать функции с модулем? !

Answer 1

Просто. Нужно раскрыть модуль по определению. Первая функция тогда примет вид
y = x -1, если x =1
y = 1 - x, если x 1
Вторая функция
y = 3 - x, если x =0
y = 3 + x если x 0
То есть интервал интегрирования нужно разбить на три
[-1; 0)
[0; 1) и
[1; 2]
На каждом из интервалов модуль раскроется так или иначе, затем вычислить интеграл как сумму трёх интегралов.
На
 указанном интервале вторая функция лежит выше первой, поэтому искомая
площадь равна интегралу от разности второй функции и первой. Желательно
убедиться что это действительно так. Без построения графика это можно
сделать, составив и решив неравенство.
На интервале [-1; 0) разность функций равна 3 + х - (1 - х) = 3 + х -1 + х = 2х + 2
На интервале [0; 1) она равна 3 - х - (1 - х) = 3 - х -1 + х = 2
На интервале [1; 2) она равна 3 - х - (х - 1) = 3 - х - х + 1 = 4 - 2х

Первый интеграл равен 1, второй 2 и третий 1. Искомая площадь равна 4

Если нарисовать график то получится прямоугольник со сторонами