какая разница между этими предлогами?

Answer 1

Он очень сожалет, что сломал твою руку. - Он в принципе понял, что не прав. (но говорить об этом вслух не в его правилах)
Он очень извиняется, что сломал тебе руку. - Он передаёт тебе свои извинения (возможно, даже с зелёными президентами)

Answer 2

Первое - он сожалет что у тебя рука в принципе сломана ("маленький - бедненький, болит? иди подую") , без указания авторства перелома
Второе - сожалет, что сломал тебе руку и за это извиняется

Answer 3

Первый боле общий. Ну сожалет и все. А второй - с упором. То есть может он просто пожать хотел, а она сломалась - пичалька. Или он чью-то чужую хотел поломать, а поломал твою - бывает, ошибся. Или же ногу тебе хотел сломать, а сломал руку - не переживай, в следующий раз он все сделает правильно.