Что лежит в основе математики?

Question

В математике новые теоремы получаются из предыдущих теорем и в конечном итоге всё начинается с аксиом которыекак бы теоремы но доказать мы их не можем а прнимаем их из за их очевидности. Но в математкие всё началось с цифр - с количества (по моему) . Мне интересно, что является началом математики? Количество? Иили может быть количество и логика (элементы алгебры логики) ? Что является основой? И как мы доказали верность этой основы (скажем верность какой то аксиомы) ? То есть я хчоу сказать можно ли говорить что математика на самом деле являестя экспериментальной наукой (но только в самом начале при изучении арифметики т оесть свойств количества) а потом уже на полуенной основе развивалась и 99 процентов знаний математики теоретические основанные на первоначальных аксиомах но в самом начале была экспериментальной, ведь то что 4 + 5 = 9 установлено экспериментально и записано в таблице так как IIII добавить IIIII получаем IIIIIIIII а мы их обазначили сответственно символами 4, 5, 9.
Короче, что лежит в основе математики?

Answer 1

основа математики - логика. По сути, математика и есть сильно развитая логика, а с чем она работает - уже дело пятое. Вначале исторически были арифметика и геометрия, но это - не важно.

аксиомы играют совсем другую роль. Реально математик не занимается выведением следствий из аксиом, тут логика другая. Он исследует какие-то конкретные объекты: решения дифуров, корни уравнений. Когда он получает результат, он возвращается к всей своей работе и ссмотрит, какие именно свойства объекта позволили ему получить результаты, эти свойства можно принять за аксиомы и повторить все доказательство - но уже не для конкретного объекта, а для любой абстрактной системы, подходящей под новые аксиомы.

По сути, аксиомы тут выступают как интерфейс: они позволяют применить результаты к максимально широкому числу схожих объектов.

Answer 2

Математика действительно родилась из счета предметов. Но на этом не остановилась . Сейчас она исследует сотношения между любыми наборами элементов, что считать элементами, неважно.
Некоторые из этих сотношений могут сответствовать отношениям между элементами реального мира, тогда математика становится математической физикой .
Но сответствие элементам реального мира совершенно необязательно, и с пользой могут использоваться и другие сотношения. Например, мы можем принять, что IIII добавить IIIII получаем IIIIIII. Или даже II ;) Это будет "сжимающе отображение", и такие тоже широко применяются, например, на таких отображениях основано большинство современных парольных защит, хотя бы в той же Windows ;) .

Answer 3

Вы путаете внутренние основы математики и внешние причины её развития. Одно с другим рядом не стояло!
Математика возникала из потребностей счёта предметов, взвешивания разных продуктов, измерения длин и площадей, и дале в том же духе.

Внутрення основа математики - логика и теория множеств.

Что касается аксиом, то это никакая не разновидность теорем, а система определений тех объектов, с которыми будет проводиться дальнейшая работа. Так, изменение формулировки пятой аксиомы Евклидовой геометрии приводит к возникновению совершенно других геометрий, в которых всё по-другому.