Почему число всех подмножеств множества, состоящего из n-элементов равно 2^n?

Answer 1

Потому что каждое подмножество можно представить двоичным числом, состоящим из n позиций. 1 - элемент входит в множество, 0 - не входит. Чисел длиной n всего 2^n.

Это и есть объяснение. Пусть каждому элементу множества сответствует определенная позиция двоичного числа. Элемент может присутствовать в подмножестве (1) или отсутствовать (0) . Между множеством подмножеств и множеством двоичных чисел установлена биекция.

Answer 2

Нет ничего проще, чем рассмотреть реальные примеры. Допустим, есть множество из 3 элементов {1, 2, 3}. Подмножества будут такими:
Пусто;
1;
2;
3;
12;
13;
23;
123
Получилось ровно 2^3 = 8 штук.
Для бесконечного множества так определить не получится. Но есть теорема Кантора, по которой мощность булеана точно больше мощности исходного множества.