Логична ли математика ?

Question

В школе изучал тригонометрию. И изначально определение синуса дается как отношение хорды к диаметру окружности, и угол синуса опирается на хорду. Так вот из этого логически нельзя вывести тригонометрический круг, где синус может быть отрицательным. Значит это все уже додумки человека. Потому что если бы математика была логична е всю можно бы было доказать с нуля. То есть с аксиом. Такие как точка, прямая и т. д. и т. п.
ТАК ВОТ ЛОГИЧНА ЛИ МАТЕМАТИКА? И ЗАЧЕМ ВОБЩЕ БЫЛ ДОДУМАН ЭТО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ КРУГ? ЗАЧЕМ НУЖНЫ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА?

Answer 1

На интервале (0, 1) столько же точек, сколько на всей прямой - логично? Логично! Возьми и сам это покажи - не так сложно.
Кантор чуть не свихнулся. А потом доказали, что и в квадрате точек ничуть не больше, во блин! Логично?

Answer 2

Математики иногда расширяют понятия. Например, вначале были только целые числа. Число обозначало количество предметов. Потом придумали дробные числа (для измерений) , но для них оставили старое название - "число". Но из аксиом для целых чисел невозможно логически вывести дробные числа. Свойства дробных чисел логически выводятся из других аксиом.

По изначальному определению синус всегда был положительным. Но в технике (в акустике, оптике, электротехнике, радиосвязи и т. д. ) оказалось полезным расширить понятие синуса. Новый синус может быть и отрицательным, его нельзя логически вывести из старого синуса. Но для него оставили название "синус".

В математике не одна система определений и аксиом. Каждая система внутри себя логична.

Тригонометрический круг нужен только чтобы наглядно представить эти новые синус, косинус, тангенс, и с его помощью вспоминать, где плюс, а где минус.

Answer 3

"если бы математика была логична е всю можно бы было доказать с нуля. То есть с аксиом. Такие как точка, прямая и т. д. и т. п. "
Так это и есть. Кстати, первым сделал это для геометрии Эвклид. А потом уже сделали для всей математики. Просто в школе это не дают, чтобы не забивать мозги тем, что нематематику ненужно. В школе аксиоматические основы математики даются очень упрощенно, и это правильно.
А обобщения синуса идут очень далеко за отрицательные значения. Синусы определены и для комплексных чисел, и для матриц. Кроме обычных, так называемых круговых, есть еще широко применяемые гиперболические, а также редко применяемые лемнискатические синусы, да и другие тригонометрические функции. Зачем они нужны? Они появляются во множестве формул.

Answer 4

математика абсолютно логична. А в школе дают так, чтоб проще было деткам понять.
Помню свое открытие в вузе - что физика - это математика. Тебе рисуют интеграл или производную - а то, что тебе в школе давали - это частный случай вот этого. . и там вместо одного интеграла на 3 страницах пытались на пальцах объяснить.

"определение синуса дается как отношение хорды к диаметру окружности, и угол синуса опирается на хорду" - не въехал.

нам дали геометрический смысл синуса - проекция радиус-вектора единичной окружности на ось ординат - и все стало понятно - и периодичность, и сдвиг по фазе с косинусом, и основное тождество тригонометрии, и теорема Пифагора раскрыла свой философский смысл. .

А из хорды с диаметром - нихна не понятно. Буду теперь голову ломать - не бред ли это, или я чего-то не понял

Answer 5

не понимаешь очевидных вещей, а виновата математика. диаметр делит круг пополам. одна хорда может быть в одной половине а другая в другой. у них будут синусы разного знака.