Логична ли математика?

Question

В школе изучал тригонометрию. И изначально определение синуса дается как отношение хорды к диаметру окружности, и угол синуса опирается на хорду. Так вот из этого логически нельзя вывести тригонометрический круг, где синус может быть отрицательным. Значит это все уже додумки человека. Потому что если бы математика была логична е всю можно бы было доказать с нуля. То есть с аксиом. Такие как точка, прямая и т. д. и т. п.
ТАК ВОТ ЛОГИЧНА ЛИ МАТЕМАТИКА? И ЗАЧЕМ ВОБЩЕ БЫЛ ДОДУМАН ЭТО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ КРУГ? ЗАЧЕМ НУЖНЫ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА?

Answer 1

А как вы приняли понятия нуля и дроби? Тоже возмущались "нелогичностью"? То ли дело, натуральные числа: 1, 2, 3,
И вдруг - ноль. . Ведь это же НИЧТО? И вдруг - какие-то 3 пятых и даже 99 сотых! А отрицательные числа? ?

Так вот, математика логична. Построение системы чисел идёт по принципу РАСШИРЕНИЯ, ОБОБЩЕНИЯ. И это касается не только чисел. Непротиворечивость расширенной системы основана на том требовании, чтобы предыдущая, исходная система была ЧАСТНЫМ СЛУЧАЕМ новой, расширенной. Ваш пример с синусом как раз такой: вначале синус вводится как отношение катета к гипотенузе, затем рассматривается новое определение - через круг - и выясняется, что для углов от 0 до 90 градусов старый синус совпадает с новым. Вот и всё, что же тут можно не понять?

Answer 2

1. Есть в математике такое понятие - аналитическое расширение. Тригонометрический круг - аналитическое расширение первого определения синуса; с его помощью можно определить синус так, чтобы все формулы, справедливые для исходного синуса, выполнялись, но можно было бы работать и с другими значениями.

Другой пример - дробные числа являются следствием аналитического расширения операции деления на все целые числа. Ясно?

2. Есть полная аксиоматика элементарной математики, в т. ч. и тригонометрии. Причем не одна (неожиданно, правда? ) . Вот только нет особого смысла в школе изучать полностью это все. На примере планиметрии просто показывается, как работает аксиоматика. Если хочешь - поищи аксиомы Пеано и честно скажи: если бы в 1 классе их давали вместо таблицы сложения, было бы легче? А если бы их давали в 10 классе, это что-то бы дало к знанию таблицы сложения, усвоенной в 1-м классе?

3. Вся математика и логика - "додумки" человека. Без человека бы их не было (как и физики, и биологии, и других наук) . И что с того?