Найти положительное n при котором значение выражения n*a^ (1/n) будет наименьшим.

Answer 1

нужно производную по n от этой функции приравнять к нулю, так найдём точку возможного экстремума.
y=n*a^ (1/n)

y'=a^ (1/n) - ln (a) * a^ (1/n) / n = 0;

n = ln (a) ;

пусть a1. проверим, является ли найденная нами точка минимумом (мб максимум или просто точка перегиба, как x=0 у f (x) = x^3) . для этого найдём знак второй производной:

y'' ( n = ln (a) ) = ( a^ (1/n) * (1 - ln (a) / n ) ' = a^ (1/n) * ( 1 + ln^2 (a) / n^3) 0.

итак, вторая производная положительная, а значит это точка минимума.

если a=1, ln (a) = 0, значит функция y (n) не имет экстремумов при положительных n. минимум функции при этом достигается на одном из краёв промежутка. но к сожалению положительные числа - открытое множество (грубо говоря точка, где множество заканчивается, не принадлежит этому множеству) . найдём знак первой производной:

y' (a=1) = a^ (1/n) * (1 - ln (a) / n ) 0

производная положительная при любых положительных n, когда выполняется условие a=1. это значит, что функция непрерывно возрастает, а значит минимальное значение лежит при минимальных (не забываем, что n0) значениях n.