Почему у квадратного уравнения только два решения?

Answer 1

У уравнения "энной" степени ровно "эн" корней. Некоторые из них могут оказаться комплексными. Но кто решил, что так должно быть - не могу сказать. Впрочем, чем "только эти два решения" вас не устраивает?

Answer 2

И - до кучи - доказательство "от противного".

Пусть нашлось такое квадратное уравнение, Ax^2 + Bx + C = 0 (A не равно 0) , у которого каким-то чудом оказалось три различных решения: u, v, w. Получаем:
Au^2 + Bu + C = 0
Av^2 + Bv + C = 0
Aw^2 + Bw + C = 0
Решим эту систему относительно A, B, C.

Если одно из решений, например, u, равно нулю, тогда остальные два решения не равны нулю, и система приводится к виду:
C = 0
Av + B = 0
Aw + B = 0
Откуда:
C = 0
B = -Av
A (v-w) = 0
Получаем:
C = 0
B = 0
A = 0

Пусть теперь все три решения - ненулевые. Тогда после несложных преобразований получим:
A + B/u + C/u^2 = 0
Buv + C (u+v) = 0
Buw + C (u+w) = 0
Откуда:
B = - C (1/u/v)
B = - C (1/u/w)
Так как 1/u/v не равно 1/u/w, то получаем опять:
C = 0
B = 0
A = 0

Налицо противоречие с условием "A не равно 0".
ЧТД.