Задана прямая и окружность О. О лежит на прямой. Ещё задана произвольная точка М, не лежащая на прямой. Нужно провести.

Question

. перпендикуляр с точки М на прямую, пользуясь лишь линейкой. Привожу ниже своё решение. Числа на линиях указывают на последовательность их проведения. Разобраться в построении оставляю читателю. Существует мнение, что построение можно осуществить, если даже положение центра О неизвестно. Я в этом сильно сомневаюсь. А как вы?

Answer 1

не буду скрывать, мнение это мое: )

небольшое уточнение к условию: данная прямая не просто пересекается, а делит окружность пополам (как и на приведенном чертеже) .

задача распадается на шаги:
1. построить хоть какой-то перпендикуляр
2. построить пару перпендикуляров
3. имея две параллельные прямые (перпендикуляры из шага 2) построить третью параллельную, проходящую через заданную точку M. На этом шаге заданные окружность и прямая вобще не используются

Итак, 1:
- пусть точки пересечения заданных прямой и окружности и прямой - A и В, выбираем на окружности произвольную точку M, не совпадающую с A и B, проводим прямые AM и BM;
- выбираем произвольную точку К внутри отрезка MB, не совпадающую с концами;
- проводим прямую AK, точку е пересечения с окружностью назовем N.
- проводим прямую BN, точку е пересечения с AM назовем L.
- проводим прямую LK. Заметим, что в треугольнике ALB отрезки BM и AN - высоты, значит К - точка пересечения высот, следовательно LK - искомый перпендикуляр.

можно было сразу выбрать точки M и N, но я не уверен, что это легальная операция "выбрать две точки на окружности по одну сторону от прямой".

Шаг 2: на шаге 1. мы могли выбрать две различные точки K и K' из MB и проделать с ними то же самое, получив точки N и N', L и L' и два перпендикуляра.

Шаг 3 по существу отдельная задача. Даны параллельные прямые а, b и точка M, не принадлежащая им, построить линейкой прямую m, проходящую через M параллельно a.

- выбираем произв. точку A, лежащую на а;
- проводим прямую AM, обозначим точки е пересечения с b как В.
- на прямой AM выберем произвольную точку L, не совпадающую с A и B.
- на прямой a выберем произв. точку A', не совпадающую с А.
- строим прямую LA', е пересечение с b - B'
- строим A'B и B'A, их пересечение - С
- строим LC.
- строим A'M, е пересечение с LC - Сэ
- строим AC', е пересечение с LA' - M'
- строим MM' - это искомая прямая
-