Как вычислить площадь одного лепестка кривой r=a*cos (f) (а*cos (фи)

Question

Как вычислить площадь одного лепестка кривой r=a*cos (f) (r=а*cos (фи) ) как там построить график и и какой интеграл получится?

Answer 1

Ну и я до кучи выскажусь, чтобы окончательно всех запутать 8-)

На картинке получается знак бесконечности, расположенный в круге радиуса a. Поэтому вызывает сомнение ответ 1/2*a^2*Pi для одного лепестка. Ведь тогда для двух лепестков получится a^2*Pi, а это площадь всего круга.

Поэтому посчитаем площадь одного его "уха", проинтегрировав функцию f (r, ф) = r по r от 0 до a*cos (ф) , а затем по ф от -п/2, п/2:
\int_0^{a*cos (ф) } r dr = 1/2 a^2 * cos^2 ф
\int_{-п/2}^{п/2} 1/2 a^2 * cos^2 ф dф =
1/2 a^2 \int_{-п/2}^{п/2} cos^2 ф dф =
1/4 a^2 ф