Про странные числа.

Question

Смотрю сайт про квадратный корень. И вижу там такой фрагмент текста: " Из каких чисел можно извлекать квадратные корни? Да почти из любых. Проще понять, из чего нельзя их извлекать. Попробуем вычислить вот такой корень: Для этого нужно подобрать число, которое в квадрате даст нам -4. Подбираем. Что, не подбирается? 22 даёт +4. (-2) 2 даёт опять +4! Вот-вот. . Нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дадут нам отрицательное число! Хотя я такие числа знаю. Но вам не скажу) . Поступите в институт - сами узнаете. Такая же история будет с любым отрицательным числом. Отсюда вывод: Выражение, в котором под знаком квадратного корня стоит отрицательное число - не имет смысла! Это запретная операция. Такая же запретная, как и деление на ноль. Запомните этот факт железно! Или, другими словами: Квадратные корни из отрицательных чисел извлечь нельзя! "Какие он имел ввиду числа (сказал что знает) ?

Answer 1

Он про комплексные числа. Там интересная история (почему-то толком нигде не описанная) .

Да, никакие действительные числа в квадрате не дадут отрицательное число. Но еще в средние века обнаружили, что если "забыть" про запрет и бессмысленность, и продолжить работать с этими несуществующими числами, то часто можно получить правильный результат! Например, в "формуле Кардано" для корней кубического уравнения часто вылезают такие "запретные корни", хуже того, они всегда вылезают в хороших уравнениях, имеющих 3 действительных корня. Правильный математик должен бы тут остановится и сказать "нет смысла! ", но если упростить выражение, то "неправильные числа" сократятся и мы получим правильный ответ!

Пример попроще. Помните теорему Виета? Для квадратного уравнения коэффициент при x равен сумме корней с минусом, свободный член - произведению корней. Давайте проверим на уравнении, не имеющем корней, например, на x^2-2х+2=0. Школьная формула для корней кв. уравнения говорит, что корни равны 1+/- корень (-1) . Дальше в школе мы говорим "нет смысла" - и останавливаемся. А давайте все-таки проверим Виета: коэфф. при х: - (1+корень (-1) + 1 - корень (-1) =-2 - правильно!
Проверим свободный член: (1+корень (-1) * (1 - корень (-1) = 1 - корень (-1) *корень (-1) =1=2 - опять верно!

Спустя века родилась мысль, что "запретные числа" - вполне реальны, просто это другие числа, чем привычные нам действительные. А как только математик "разрешил" их, проанализировал, получилось, что все с ними просто: обычные числа - это точки на числовой прямой, а "запретные" - точки на плоскости, в которой одна ось - обычная числовая прямая, а вторая - это числа вида "корень из -1". Сложение - это сложение векторов, умножение - это умножение длин и поворот (типа сложения азимутов) . На комплексные числа переносятся и все обычные формулы и стандартные функции. Есть замечательная теорема (всего в абзац! ) , доказывающая, что все "хорошие" формулы относительно всех "хороших" функций переносятся на комплексные числа.

Как не странно, но часто комплексные числа упрощают сложные задачи и понимание. Синусы и косинусы оказываются близкими родными экспоненте, все полиномы имеют корни (какая степень - столько и корней) , итд.

Answer 2

Строго говоря, это не совсем верно.
Действительно, для комплексных чисел корень существует всегда. Но для таких чисел нет понятия положительных и отрицательных.

Да, некоторые комплексные числа изоморфны действительным, это и имеют в виду: типа, i в квадрате равно -1. Но на самом деле при этом констатируется, что (0, 1) * (0, 1) = (-1, 0) , не боле того.