Медсестра, улыбаясь, вышла из палаты. "Улыбаясь" надо обособлять?

Answer 1

Конечно.
Причастный оборот - это причастие с зависимым или с зависимыми словами и отвечает на вопросы: какой, какие - как и прилагательные.
Депричастный оборот-это депричастие с зависимым или зависимыми словами и отвечает на вопросы что делал, что сделал. Стало быть в вашем случае это депричастный оборот, который выделяется запятыми.

Answer 2

Да, конечно. Если слово можно выбросить из предложение, и при этом оно не потеряет свой изначальный смысл - значит нужно, пример: "Медсестра вышла из палаты".