Пусть a и b - положительные числа. Верно ли, что ab при a в квадрате b в квадрате?

Question

Правильный ответ: верно. Как это доказать, не понимаю. Объясните, пожалуйста, поподробне!

Answer 1

Можно использовать метод док-ва от противного, предположив, что
b a или что b-a=c0.
b = c+a
b^2=c^2+2ac+a^2
a^2-b^2 = -c^2-ac.
Левая часть по условию 0, значит и правая тоже.
Запишем -c^2-ac 0
При положительных а и с имем положительные c^2 0 и ac0.
Приплюсуем их и слева и справа к обеим частям неравенства.
-c^2-ac + c^2 +ac c^2+ас.
Получим 0 c^2+ас, что неверно. Значит исходное ba неверно.
Поскольку а не равно b (иначе разность квадратов нулевая) ,
остаётся что верно только ab.
-
Другой способ.
Дано a0, b0, a^2-b^20.
Пусть a^2-b^2 = N 0
Тогда легко вычислить с=N/ (2a+2b) , причем ясно, что c0,
так как все числа положительны.
Запишем тогда N=c (2a+2b) и тогда
a^2-b^2 = c (2a+2b) 0
a^2 - 2ac =b^2 +2bc Дополним левую часть до квадрата.
a^2 - 2ac +с^2 =b^2 +2bc +c^2
 (a-c) ^2= (b+c) ^2
Следовательно
 (a-c) = (b+c)
a-b = 2c 0
a-b 0 или
ab, что и тр. док-ть.