Почему при отрицании мы говорим: "Да нет. " Это как так?

Answer 1

Потому что, в данном случае, "да" является не утвердительной частицей, а союзом, аналогичным "и", "а", "таки".
 
Альтернативный пример употребления СОЮЗА "да": "Я бы приехал, да машина сломалась" Здесь же он не утверждает:"ДА! Машина у меня сломалась. Да! " . ) Этот союз вводит пояснение, открывает что-то, доселе скрытое. В чем-то аналогичен "но". в чем-то - "а", может быть аналогичным "и", например: "Степь да степь кругом"
 
Говорите "Таки, нет" или:"А вот, нет", если "Да нет" не устраивает.
 
Это - нормальный разговорный вариант. Конечно, в официальной речи или научной статье таких оборотов следует избегать, но в бытовом разговоре - нормально (всему свое место и время)

Answer 2

Все же здесь это не союз, как утверждает Andy_Life is a dream_Gavrilkin, а частица. Употребляется для придания большей выразительности.
 
Может выражать и сомнение, и нетерпение, и досаду (сто раз объяснил, а собеседник все не понимает) , и еще много чего.