Помогите решить комплексное число

Question

(1/2 - i * кв. корень из 3/2) ^20

не могу найти угол ф через тангенс получается 2pi/3, а через синус косинус 5pi/3.

Answer 1

Проблема ровно в тангенсе — он не различает четверти, у него период π. Поэтому tg φ = −√3 даёт сразу двух кандидатов: −π/3 и 2π/3. Какой из них верный, решают знаки косинуса и синуса.

Шаг 1. Модуль: |z| = √ (1/2) ² + (√3/2) ²) = √ (1/4 + 3/4) = 1.

Шаг 2. Аргумент по знакам: cos φ = 1/2 0, sin φ = −√3/2 0 — это четвёртая четверть. Значит φ = −π/3 (то же самое, что 5π/3) . Вариант 2π/3 отпадает: там косинус отрицательный, а у нас он /2.

Шаг 3. Формула Муавра: z²⁰ = 1²⁰ · (cos (20· (−π/3) + i·sin (20· (−π/3) = cos (−20π/3) + i·sin (−20π/3) .

Шаг 4. Приводим угол: −20π/3 + 8π = 4π/3. Значит z²⁰ = cos (4π/3) + i·sin (4π/3) = −1/2 − i·√3/2.

Ответ: z²⁰ = −1/2 − i·√3/2.

Проверка коротким путём: z³ = cos (−π) + i·sin (−π) = −1. Тогда z²⁰ = (z³) ⁶ · z² = 1 · z². А z² = cos (−2π/3) + i·sin (−2π/3) = −1/2 − i·√3/2. Совпало — значит угол выбран верно.

Правило, чтобы больше не путаться: тангенс даёт только «направление прямой», а не луча. Всегда сначала смотри на знаки cos и sin — они однозначно задают четверть, и уже потом бери угол.