Математики, общий сбор!

Question

Есть задача, олимпиадная. Нужно узнать, на какое количество нулей оканчивается 2014, или же 2014 факториал. У меня вышел ответ 402, у одноклассницы 501. Кто прав, а кто лев?

Answer 1

Первое слагаемое в формуле Лежандра дает твой ответ, а вся формула дает ответ одноклассницы - она права, а ты лев. Ща я тебе эту формулу Лежандра покажу, а потом на пальцах попробую объяснить, чтобы ты понял, в чем именно ты облажался. Вот скриншотик, применяющий формулу Лежанжра к твоей задаче - здесь калькулятор посчитал, на сколько нулей оканчивается 2014! (или, точнее, калькулятор посчитал, сколько пятерок входит в разложение 2014! на простые множители, но это то же самое в нашем случае) :

Теперь попробую объяснить, откуда такая хрень.

Берем какое-то натуральное число не более 2014 - например, число 3*125 = 375, оно входит в факториал каким-то там сомножителем по счету (наверное, 375-ым сомножителем, если факториал расписать как 1*2*3*итд*2014) .

Число 375, очевидно, даст три пятерки в разложении числа 2014! на простые множители.

Одна из этих пятерок учтена в первом floor-слагаемом в формуле Лежандра, вторая - во втором floor-слагаемом, третья - в третьем floor-слагаемом.

Если ты аналогично возьмешь число, кратное пяти, но не 25-ти, оно даст только одну пятерку (которая учтена в первом floor-слагаемом) .

Если ты аналогично возьмешь число, кратное 25-ти, но не 125-ти, оно даст ровно две пятерки (одну пятерку в первом floor-слагаемом и одну пятерку во втором floor-слагаемом) .

Если захочешь с вопросом разобраться чуть подробнее, гугли формула Лежандра о степени вхождения простого числа в факториал.