Помоги пожалуйста

Question

y = x² (х-3) проведите исследование функции и постройте график

Answer 1

Дано выражение: y=x2 (x−3) y=x2 (x−3) .

Для анализа и понимания этого выражения, начнем с раскрытия скобок:

Раскроем скобки в выражении y=x2 (x−3) y=x2 (x−3) :

y=x2⋅x−x2⋅3=x3−3x2y=x2⋅x−x2⋅3=x3−3x2

Теперь у нас есть выражение y=x3−3x2y=x3−3x2.

Для анализа поведения функции y=x3−3x2y=x3−3x2, найдем производную:

y′=ddx (x3−3x2) =3x2−6xy′=dxd​ (x3−3x2) =3x2−6x

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

3x2−6x=03x2−6x=0

3x (x−2) =03x (x−2) =0

Отсюда получаем два решения:

x=0иx=2x=0иx=2

Определим знаки производной на интервалах, разделяемых критическими точками:

На интервале (−∞, 0) (−∞, 0) : выберем x=−1x=−1, тогда y′=3 (−1) 2−6 (−1) =3+6=90y′=3 (−1) 2−6 (−1) =3+6=90. Функция возрастает.

На интервале (0, 2) (0, 2) : выберем x=1x=1, тогда y′=3 (1) 2−6 (1) =3−6=−30y′=3 (1) 2−6 (1) =3−6=−30. Функция убывает.

На интервале (2, +∞) (2, +∞) : выберем x=3x=3, тогда y′=3 (3) 2−6 (3) =27−18=90y′=3 (3) 2−6 (3) =27−18=90. Функция возрастает.

Определим значения функции в критических точках:

При x=0x=0: y=03−3⋅02=0y=03−3⋅02=0

При x=2x=2: y=23−3⋅22=8−12=−4y=23−3⋅22=8−12=−4

Таким образом, функция y=x3−3x2y=x3−3x2 возрастает на (−∞, 0) (−∞, 0) и (2, +∞) (2, +∞) , убывает на (0, 2) (0, 2) , имеет локальный максимум в точке (0, 0) (0, 0) и локальный минимум в точке (2, −4) (2, −4) .

Ответ: y=x3−3x2y=x3−3x2 с критическими точками x=0x=0 и x=2x=2, где y (0) =0y (0) =0 и y (2) =−4y (2) =−4.