Можете пояснить простыми словами, зачем и к чему появилась экспонента в математике? С чего вдруг ей такая честь?

Question

Ладно бы число π, с ним всё понятно, оно нужно, а експонента e зачем?

Answer 1

Приведу пример задачи, в которой естественным образом возникает число e.

Поскольку примеры разные бывают, а я математический извращенец, я выберу пример весьма престранным образом: просто выберу самый популярный (субъективно, чисто по моим ощущениям) вопрос на Ответах, который школьники задают, и где число e естественным образом всплывает. С математической точки зрения этот пример может и не самым полезным быть, ну уж я такой выбрал!

Вопрос/пример этот таков. Мы открываем сундук. Вероятность того, что из него выпадет очень редкий лут, равна 1/дохреналлиард. Луты в разных сундуках независимы.

Какова вероятность того, что нам достанется хотя бы один очень редкий лут при открывании дохреналлиарда сундуков?

Сделаем так. Число дохреналлиард обозначим буквой n. Поскольку мы не знаем, сколько это именно, но знаем, что это очень много, то искомую вероятсность целесообразно посчитать как

lim (1 - (1 - 1/n) ^n) при n - infinity.

И сей предел равен 1 - 1/e.

Более того, lim (1 - 1/x) ^x при x - +/-inf равен 1/e,

lim (1 + 1/x) ^x при x - +/-inf равен e.

Последнее равенство, собственно говоря, и является определением числа e при наиболее традиционном построении матана. Только сначала доказывается, что этот предел существует сперва для натуральных x, затем для рациональных, затем для действительных.