Объясните ПТУ-шнику как посчитать p в выборке?

Question

Скажем есть 71 человек

Из них сделали случайную выборку в 20 человек. Все 20 человек обладают нужной чертой.

Можно ли утверждать что все 71 человек обладают нужной чертой?

Answer 1

Давай разберёмся по-простому, как в ПТУ!

Что нужно понять?

У нас есть

группа из 71 человека

, из них

20 случайно выбрали

, и у всех 20 есть нужная черта (например, все рыжие) . Можно ли сказать, что

все 71 — рыжие

Ответ: Нет, нельзя утверждать на 100%.

Но можно

оценить вероятность

, что это так.

Как посчитать?

Допустим

, в группе из 71 человека

не все рыжие

. Пусть только

Х человек — рыжие

, а остальные (71 – Х) — нет.

2. Вероятность, что в случайной выборке

все 20 окажутся рыжими

 Это записывается через

комбинаторику

 Где \ ( c (n, k) \) — число сочетаний из \ ( n \) по \ ( k \) .

Если Х = 71 (все рыжие)

, то \ ( p = 1 \) (100%) , потому что выборка всегда будет из рыжих.

Если Х 71

, то \ ( p \) быстро падает.

Пример:

- Если

 (только 20 рыжих в группе) , то вероятность случайно выбрать

именно их всех

крайне мала

 (примерно \ ( 10^{-22} \) .

- Если

, то шанс, что в выборке все 20 окажутся рыжими, уже около

Вывод:

Чем больше выборка (20 из 71) и чем чаще в ней все имеют черту

, тем вероятнее, что

вся группа

 ей обладает.

- В нашем случае (*20/20*) это

сильный намёк

, что все 71 могут быть такими, но

не гарантия

- Если бы в выборке

был хотя бы один не рыжий

, мы бы точно знали, что не все 71 — рыжие.

Практическое правило (для ПТУ-шника) :

Если в случайной выборке

все элементы обладают признаком

, то с большой вероятностью

почти вся группа

 тоже им обладает. Но

на 100% утверждать нельзя

 — возможно, нам просто повезло.

Если хочешь точнее, можно построить

доверительный интервал

, но это уже сложнее.

Проще говоря:

Скорее всего, почти все 71 — такие.

Но точно утверждать, что ВСЕ, нельзя.

Как думаешь, логично? ????