ПОМОГИТЕ С МАТЕМАТИКОЙ 8 КЛАСС!

Question

Натуральные числа от 1 до 20 покрасили в белый и черный цвета. Оказалось, что произведение всех чисел покрашенных в белый цвет, взаимно просто с произведением всех чисел, покрашенных в черный. Сколько таких различных окрасок существует?

Answer 1

Ответ:
Количество подходящих окрасок чисел от 1 до 20 равно 256.
 
Обоснование:
Главное условие — произведения белых и чёрных чисел не должны иметь общих простых делителей. Для этого все 8 простых чисел (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19) должны быть окрашены в один цвет.
 
Почему 256?
Каждое из 8 простых чисел можно независимо покрасить в белый или чёрный. Это даёт \ (2^8 = 256\) вариантов. Цвет составных чисел однозначно определяется их простыми делителями.
 
Особые случаи:
- Число 1 можно красить в любой цвет (не влияет на условие) .
- Если простое число покрашено в белый, то все его степени тоже белые.
 
Итог:
Любая из 256 окрасок, где простые числа распределены в один цвет, удовлетворяет условию задачи.