Как решить волновое уравнение для струны ?

Question

С известной длиной 1 метр, с фиксированными концами, начальная форма f (x) =sin^2 (pi*x) , начальная скорость g (x) =0. Скорость волны с=140 м/с.

Answer 1

На воруждения у вас два стандартных джентельменских метода.
1) Метод характеристик (из него вылезает метод Даламбера) . Вместо переменных x, t нужно перейти к переменным:
a = x - c t,
b = x + c t.
Тогда уравнение вместо такого:
Utt - c^2 Uxx = 0,
примет такой вид:
Uab = 0,
тогда решение:
U (a, b) = f (a) + g (b) ,
или, в старых переменных:
U (x, t) = f (x - c t) + g (x + c t) .
Ну и усе, дальше вас ждут некоторые мучиния по удовлетворению граничных условий и начальных (лучше почитайте подробно, как это делается, в 3х словах не расскажешь) .
2) Метод разделения переменных. Ищите решение в виде:
U (x, t) = T (t) X (x) ,
подставляете в уравнение, получаете:
T / (c^2 T) = X / X = const.
Слева функция только от t, справа - только от x, поэтому равенство возможно только, если каждая из функций - константа. Обозначаете е L, и рассматриваете уравнение:
X / X = L.
Находите некоторое множество решений этого уравнения (для всевозможных L) , которые удовлетворяют граничным услвоиям: X = Xk (x) , для L = Lk, k = 1, 2, 3,
Для каждого такого Lk и Xk получится свой Tk. В итоге получится набор решений вида:
Tk (t) Xk (x) .
А дальше финт ушами. Раз уравнение линейное, то сумма решений - решение. Поэтому записываете решение так:
U =