Матрица поворота, тригонометрия

Question

Я второй день не могу понять почему матрица поворота это в первой столбе : кос, син. Во втором: -син, кос. П. С. я не учусь в вузе, 10 класс, просто дошла до матриц чтобы доказать формулы кос (а±б) и син (а±б) . По какой логике вобще матрица поворота выглядит так?

Answer 1

Матрицы у математиков и инженеров зачастую совпадают с точностью до транспонирования - я бы сказал, что логика тут прикладная инженерная.

Если у тебя ориентация стандартная (первая кординатная ось смотрит направо, вторая - вверх) , A - матрица поворота на угол фи, v - вектор-столбец, и Av получается из v поворотом на угол фи в положительном направлении (т. е. против часовой стрелки) , то минус при синусе должен быть в правом верхнем углу, а не в левом нижнем.

Почему он в левом нижнем у тебя - хз, причин может быть мильон. Например, система кординат компутерная (ось Oy смотрит вниз) , или ты матрицей переводишь кординаты вектора в повернутый в положительном направлении на фи базис, или, может, ты векторы представвляешь не вектор-столбцами своих кординат, а вектор-строками. Тут, как минимум, две причины из указанных мною возможных трех - чисто инженерные.

PS. А, понял, у тебя минус стандартно в правом верхнем. Ну тогда исходи из соглашения, что ориентация осей стандартная, положительное направление поворота - стандартное, ты поворачиваешь вектор v матрицей A и представляешь всякий вектор вектор-столбцом своих кординат. Т. е. Av - это повернутый вектор v. Ну и распиши через кординаты, всё получится.

Answer 2

Да не мучайся с этой тригонометрией, основное тригонометрическое тождество неудобное, основное гиперболическое (ch (x) ^2 - (sh (x) ^1 = 1 намного удобне, матрица гиперболического поворота симметричная, там нет никаких минусов, используй гиперболический поворот:
ch (x) sh (x)
sh (x) ch (x)
А при обращении там на побочной диагонали просто знаки меняются, sh (x) - нечетная же функция.