Кристаллография. Элементы симметрии, сингонии

Question

Сколько плоскостей и осей симметрии имет ПРАВИЛЬНЫЙ тетраэдр и каких порядков эти оси? Какая у него полная формула симметрии?

Answer 1

Я прикладную кристаллографию в E^3 помню плохо, как и обозначения кристаллографические - для обозначения групп симметрий в кристаллографии свои конвенции есть, да еще и разные - учебные, боевые и т. п.
Перейду ближе к низкоуровевой математике, OK?

Группа симметрий правильного тетраэдра изоморфна симметрической группе S4 - понимай е как группу перестановок вершин, не ошибёшься.

Из 12 вращательных симметрий (ака подгруппа A4) :
1) одна - тождественная,
2) еще 4*2 = 8 - нетождественные повороты порядка 3 (через вершину и центр проводишь ось, вращаешь вокруг не в ту или иную сторону на угол оборот/3) . Каждая из этих восьми четно переставляет вершины в одной грани.
3) Еще три вращения - это произведения двух непересекающихся транспозиций вершин, т. е. поворот на 180 градусов вокруг прямой, соединяющей центры противоположных ребер.

Из 12 несобственных симметрий:
1) 6 - симметрии отн. плоскостей, где плоскость симметрии проходит через ребро тетраэдра и центр)
2) Еще шесть - перестановки по циклу всех четырех вершин тетраэдра. Их понимать так можно: через центры двух противоположных ребер проводишь отрезок, к нему - плоскость-срединный перпендикуляр. Симметрично относительно этой плоскости отображаешь тетраэдр, после чего поворачиваешь тетраэдр в этой плоскости на плюс-минус пи/2 (открой сам картинку с тетраэдром, в уме это сложно может быть представить) . Три отрезка * два направления поворота = 6 штук.

Всё.
Порядок оси в кристаллографии - это, наверное, порядок подгруппы вращений тетраэдра, сохраняющей ось поточечно неподвижной. Т. е. в пункте I. 2 у нас четыре оси порядка 3, у пункте I. 3 - три оси порядка 2.
Но я забыл кристаллографическую терминологию, ни фига е не помню и не знал.

Answer 2

Правильный тетраэдр имет 6 плоскостей симметрии и 3 оси симметрии.
 
Ось симметрии тетраэдра — прямая, которая проходит через середины двух противоположных рёбер.
 
Плоскость симметрии тетраэдра — плоскость, которая проходит через ребро перпендикулярно к противоположному ребру.
 
Тетраэдр не имет центра симметрии.
 
Также известно, что правильный тетраэдр обладает 12 вращательными (сохраняющими ориентацию) симметриями и симметриями порядка 24, которые включают комбинацию отражений и вращений. Группа всех симметрий изоморфна группе S4, симметрической группе перестановок четырёх элементов.