Что такое полупрямое произведение простыми словами

Answer 1

Есть группы:
G = {g1, g2, },
H = {h1, h2, }.
Определяем действие группы G над группой H (то есть G рассматриваем как группу автоморфизмов H) . Эт значит, что мы хотим уметь действовать как гомоморфизмом элементами группы G на элементы группы H и снова получать элементы группы H:
gk (hi) = hj.
Тогда полупрямым произведением групп H и G назовем группу Q:
Q = H x G = {q1, q2, q3, },
элементы которой - объекты вида:
q = (h, g)
с групповой операцией:
qi * qj = (hi, gi) * (hj, gj) = (hi*gi (hj) , gi*gj) .
Если действие элементов G на группе H не определено по умолчанию, тогда нужно руками задать гомоморфизм между G и группой автоморфизмов над H. И, если по-разному задавать этот гомоморфизм, будут получаться разные полупрямые произведения. То есть при использовании полупрямых произведений нужно указывать, по какому гомоморфизму G ~ aut (H) они берутся.