Кольцо множеств не является кольцом в алгебраическом смысле?

Question

В определении кольца как алгебраической структуры требуется наличие нейтрального элемента по сложению (существует 0 такой, что А+0 = А для любого А) и одновременно противоположного элемента к каждому (для любого А существует (-А) такой, что А + (-А) = 0) . В алгебре множеств в качестве суммы рассматривается объединение множеств. Тогда нейтральный элемент - это пустое множество (для любого А объединение с пустым множеством равно А) . Но тогда нет обратного элемента! Какое множество нужно объединить с А, чтобы получилось пустое множество? Такого множества нет.
 
Если же в качестве сложения рассматривать ПЕРЕСЕЧЕНИЕ множеств, кольца тоже не получается. Нейтральным элементом (пересечение с которым для любого А равно А) является множество Х такое, что все А являются его подмножествами. Но тогда снова нет обратного элемента: нет такого элемента, чтобы ПЕРЕСЕЧЕНИЕ его с А давало множество Х (т. к. это А входит в Х, а не наоборот) .
 
Что же, так называемое "кольцо множеств" - вовсе не кольцо? Или я где-то допустил ошибку?

Answer 1

должно быть, по моему.
 
Проверяем пересечение * и д - симметрическую разницу по аксиомам
 
д - ассоциативно и коммутативно, дистрибутивно относительно *. Пустое множество - ноль кольца, всегда есть - симметрическая разница А с А. Ад0= A. Дополнение - обратный.
* - ассоциативно, и даже коммутативно.
Можно и дистрибутивность доказать, распишите A* (BдС) = A* (B/C) VA* (C/B) = (A*B*! C) V (A*C*! B) = (A*B/C) V (A*C/B) = (AB) д (AC)
-
 
Точно будет кольцо по симметрической разности-сложению и пересечению-умножению.

Answer 2

Не путайте алгебраические операции с операциями над множествами. Объединение, пересечение и проче - это совсем другое. Кольцо, полукольцо множеств, и алгебраическое кольцо - просто слово похоже.

Answer 3

Операцией сложения в кольце множеств является симметрическая разность. Тогда обратным элементом к А будет само множество А. Пересечение множеств - аналог умножения.
 
Схожесть слов тут ни при чём. Подмножества некоего множества образуют именно алгебраическое кольцо.