Как доказать существование пробелов в множестве рациональных чисел?

Answer 1

вы бредите.
 
нет никаких "пробелов", нет никаких пустых интервалов без рац. чисел, между двумя любыми различными числами есть бесконечное множество рациональных.
 
то, что мощность рац. чисел меньше, чем мощность всей прямой - совсем другой факт.

Answer 2

Множество рациональных чисел всюду плотно во множестве действительных чисел, то есть для любой окрестности любого действительного числа существует рациональное число, которое принадлежит данной окрестности. Например, дано r - действительное ирациональное число. Возьмём [r] и [r] - два натуральных числа, в которых лежит данное ирациональное число. Если r-[r]