Две прямые, перпендикулярные третьей - параллельны. Доказать

Question

Не используя свойство того, что сумма углов треугольника 180 градусов.

Не использовать это свойство по причине того, что оно доказывается через свойства параллельных прямых, одно из которых мне нужно доказать, используя утверждение, о доказательстве которого я сейчас и спрашиваю. Т. е. логически замкнутый круг иначе получится.

Answer 1

Для доказательства утверждения, что *две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны*, можно использовать аксиомы и свойства перпендикулярных и параллельных прямых. Доказательство не будет опираться на свойство суммы углов треугольника.
 
##Доказательство:
1. Пусть $ a $ и $ b $ — две прямые, перпендикулярные третьей прямой $ c $. Значит, углы между каждой из этих прямых ($ a $ и $ b $) и $ c $ равны 90°.
 
2. Рассмотрим точку пересечения $ O $ прямой $ c $ с прямой $ a $. Проведём через точку $ O $ прямую $ b $, которая также перпендикулярна $ c $.
 
3. По определению перпендикулярности, через точку на плоскости можно провести *только одну прямую*, перпендикулярную данной (аксиома единственности перпендикуляра) .
 
4. Если бы $ a $ и $ b $ пересекались, то в точке их пересечения можно было бы провести две различные прямые, перпендикулярные $ c $, что противоречит аксиоме.
 
5. Следовательно, $ a $ и $ b $ не пересекаются.
 
6. По определению параллельных прямых, если две прямые на плоскости не пересекаются, они параллельны.
 
*Вывод:* Прямые a и b, обе перпендикулярные третьей прямой c, параллельны.