Не знаю как сейчас, но не в очень давние времена в учебниках и учебных пособиях по физике потенциальность.

Question

. электростатического поля, т. е. независимость работы, совершённой над зарядом во время движения его в данном поле от вида траектории, доказывалась следующим образом: криволинейная траектория заменялась ступенчатой линией из мельчайших отрезков: один - по эквипотенциальной линии, другой - в направлении вектора напряжённости. По первым работа не совершается, по вторым суммарная работа, естественно, оказывается зависящей лишь от начального и конечного положения заряда.
Правомерно ли такое доказательство?

Answer 1

В качестве не строгого доказательства, а иллюстрации - годится.
Боле строго: электростатическое поле является полем градиента скалярного потенциала . А поле градиента потенциально - это доказывается математически. Градиент умножается скалярно на вектор dr, результат является инвариантом, он же изображает полный дифференциал d. Ну а интеграл от полного дифференциала не зависит от пути интегрирования, и равен разности значений скаляров в конечной и начальной точках.

Answer 2

Это доказательство фактически повторяет определение работы A векторного поля (P;Q) вдоль гладкой кривой, как криволинейного интеграла 2-го рода от проекции вектора на касательное направление к траектории, A=int (P*dx+Q*dy) .
В матанализе доказывается, что такой интеграл не зависит от формы пути, если поле "потенциально", т. е. существует такая скалярная функция U (x, y) , что (P;Q) =grad U.
Вывод: правомерно.
Всё это справедливо и для 3-х-мерного случая.