Олимпиадная задача, 11 класс

Question

2. На кординатной прямой с точками . -4-3-2-1 0 1 2 3 4 . блуждает частица. В начальный момент времени частица находится в точке с кординатой 0. В каждый следующий момент времени частица совершает переход в одну из двух соседних точек (налево или направо) с равной вероятностью . Найдите вероятность того, что на шестом шаге частица окажется в точке с кординатой 4 (возможно не в первый раз) .
 Результат округлите до тысячных.

Справиться сам не смог.

Answer 1

Шаг влево - это добавление к кординате -1.
Шаг вправо - это добавление к кординате 1.
Число способов, которыми можно выбрать 6 шагов:
N = 2^6.
6ю шагами можно получить кординату 4 одним способом: 5 раз сместиться вправо, и один раз влево. Вопрос лишь в том, каким по счету выбрать этот единственный левый шаг. Подойдет на эту роль любой из 6-ти шагов. Поэтому у нас есть 6 вариантов выбора левого шага. Выходит, всего 6 вариантов прийти в точку 4:
-1
-1
-1
-1
-1
-1
Благоприятных событий:
N0 = 6.
Искомая вероятность тогда:
P = N0 / N = 6 / 2^6.

Answer 2

Для решения данной задачи будем использовать комбинаторный подход. Частица может перемещаться налево или направо с равной вероятностью. Мы можем описать положение частицы после 6 шагов с помощью переменных, которые обозначают количество шагов влево (\ (L\) и вправо (\ (R\) .

После \ (n\) шагов, если частица находится в позиции \ (x\) , то выполняется следующе уравнение:

[
x = R - L
\]

где \ (R + L = n\) . В нашем случае, \ (n = 6\) и мы хотим, чтобы \ (x = 4\) .

Подставим \ (x = 4\) в уравнение:

[
4 = R - L
\]

Также знаем, что \ (R + L = 6\) . Теперь у нас есть система уравнений:

1. \ (R - L = 4\)
2. \ (R + L = 6\)

Решим эту систему:

Сложим оба уравнения:

[
 (R - L) + (R + L) = 4 + 6 \\
2R = 10 \\
R = 5
\]

Теперь подставим значение \ (R\) в одно из уравнений, например, во второе:

[
5 + L = 6 \\
L = 1
\]

Таким образом, для того чтобы оказаться в точке 4 после 6 шагов, частице нужно сделать 5 шагов вправо и 1 шаг влево.

Теперь посчитаем количество способов, которыми можно выполнить 5 шагов вправо и 1 шаг влево. Это можно сделать с помощью биномиального коэффициента:

[
\text{Количество способов} = \binom{6}{5} = \binom{6}{1} = 6
\]

Теперь найдем общую вероятность. Всего возможных последовательностей перемещений за 6 шагов:

[
\text{Обще количество последовательностей} = 2^6 = 64
\]

Таким образом, вероятность того, что частица окажется в точке 4 на шестом шаге:

[
P = \frac{6}{64} = \frac{3}{32} \approx 0. 09375
\]

Округля до тысячных, получаем:

[
\boxed{0. 094}
\]