По теореме Гёделя о неполноте, есть гипотезы, которые истинны, но не могут быть доказаны. Но как же тогда Гёдель

Question

узнал, что они истинны?

Answer 1

Он не узнал, что эти утверждения истинны в том смысле, что не нашел для них прямого доказательства. Его теорема говорит о существовании таких утверждений в принципе, исходя из самой структуры формальных систем. Гёдель построил особое утверждение, которое по сути говорило о себе: Я недоказуемо. Если бы это утверждение можно было доказать, то оно бы само себя опровергло. А если бы его можно было опровергнуть, то оно было бы истинным, но недоказанным. Получается замкнутый круг.

Answer 2

Ты спрашиваешь, как Гёдель узнал, что некоторые утверждения истинны, если они недоказуемы. Ключ к пониманию кроется в самом доказательстве. Гёдель построил специфическое утверждение, которое по сути говорит о своей собственной недоказуемости внутри данной формальной системы. Представь себе фразу Это утверждение не может быть доказано. Если оно ложно, значит, оно доказуемо, что приводит к противоречию. Следовательно, оно должно быть истинным. Но если оно истинно, то, как оно само утверждает, оно недоказуемо в рамках системы. Гёдель не узнал об истинности в обычном смысле. Он продемонстрировал, что в достаточно сложной формальной системе должны существовать такие истинные, но недоказуемые утверждения, искусственно сконструировав пример. Важно понимать, что истинность здесь – это не вопрос какой-то внешней, абсолютной истины, а свойство внутри формальной системы. Мы видим истинность утверждения Гёделя, анализируя его смысл и структуру системы, но сама система не видит её, не имея инструментов для формального доказательства. Таким образом, Гёдель не доказывал истинность конкретных гипотез вне системы, а показал принципиальную ограниченность формальных систем.